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不等式的恒成立问题在高中数学中比较常见,它的解决涉及函数、导数、不等式等高中数学的主干知识,渗透了换元、数形结合和分类讨论等数学思想方法,利于考查学生的综合解题能力,因而是历年来高考考查的热点问题,教师在教学过程中也比较重视,会进行高考中常见类型恒成立问题解题策略的归纳总结,但是实际教学过程中学生还是会忽略一些问题,导致错误。
主要有以下几点:
1如何确定自变量
在不等式恒成立问题中经常会用到分离参数的方法,这就要求我们分清变量和参数,这也是学生最容易发生混乱的地方。
例1
对于满足|a|2的所有实数a,求使不等式x2+(a-1)x-2a+1>0恒成立的x的取值范围。
[解析]按照思维定式很容易将所求不等式看成关于x的二次函数,f(x)=x2+(a-1)x-2a+1,由于a和x都在变,求函数的最小值受阻,题目难以解决。但是如果将不等式看成关于a的函数,则问题顺利解决。
解:设g(a)=(x-1)·a+(x2-2x+1)
(-2a2)
①x=1时,g(a)=0不满足题意;
②x≠1时,g(a)是关于a的一次函数,只需g(-2)>0g(2)>0→x<-1或x>3
综上所述:x<-1或x>3
究竟如何区分变量和参数,一般情况下我们把已知中已经给出范围的字母看作变量,要求范围的字母看作参数,这样问题容易解决。下面我们再看两个问题对比一下:
例2
1)已知不等式(x-1)m<2x-1对x∈(0,3)恒成立,求实数m的取值范围。
2)已知不等式(x-1)m<2x-1对m∈(0,3)恒成立,求实数x的取值范围。
[解析]两个题目的区别在于1)给出的是x的范围,求的是m的范围;2)给出的是m的范围,求的是x的范围。这就要求利用不同的函数去解决问题。
解:1)因为不等式(x-1)m<2x-1对x∈(0,3)恒成立,即(m-2)x+1-m<0 对x∈(0,3)恒成立。
设f(x)=(m-2)x+1-m,x∈(0,3)
①m=2时,f(x)=-1<0恒成立;
②m≠2时,f(x)为关于x的一次函数,只要满足f(0)<0f(3)<0→1<m<-且m≠2
综上所述:1<m<-
2)因为不等式(x-1)m<2x-1对m∈(0,3)恒成立,即(x-1)m-(2x-1)<0对m∈(0,3)恒成立。
设g(m)=(x-1)m-(2x-1)
①x=1时,g(m)=-1<0恒成立;
②x≠1时,g(m)为关于m的一次函数,只要满足g(0)<0g(3)<0→-<x<2且x≠1
综上所述:-<x<2
2多个参数如何解决
不等式恒成立问题中给出范围的看成自变量,但是有些题目含有3个变量,并给出其中两个的范围,这样可以看成两个函数,利用两次恒成立,不断减少变量的个数,使问题得到解决。但是由于先后看成自变量的函数不同,造成的运算量及难易程度会有所不同,所以要适当选择。
例
3
例
4
已知函数f(x)=x+-+b(x≠0)其中a、b∈R,若对任意a∈[-,2],不等式f(x)10在[-,1]上恒成立,求b的取值范围。
【解析】给出范围的变量为a和x,可以先看成关于a的函数,再看成关于x的函数,也可以先看成关于x的函数,再看成关于a的函数。
解:法1)因为x+-+b10在a∈[-,2]和x∈[-,1]时恒成立,则-a+(x+b)10在a∈[-,2]和x∈[-,1]时恒成立。
设g(a)=-a+(x+b),因为x∈[-,1],所以->0,关于a的一次函数单调递增,则在a∈[-,2]时,函数的最大值g(a)max=g(2)=-+x+b,从而问题转化为-+x+b10在x∈[-,1]时恒成立。
设h(x)=x+-,x∈[-,1],利用函数在x∈[-,1]时单调递减,则函数最大值h(x)max=h(-)=-,则-+b10,得到b-。
法2)因为x+-+b10在a∈[-,2]和x∈[-,1]时恒成立,设g(x)=x+-,x∈[-,1],由于函数g(x)在x∈[-,1]时最值不确定,要找到它的最值需要分类讨论,显然此法遇到困难。
通过以上例题我们知道,对于多个参数问题要合理选择函数,才可以使问题轻松获得解决。
已知奇函数f(x)是在[-1,1]上的单调增函数,且f(1)=1,若f(x)m2-2am+1对所有的a∈[-1,1]恒成立,求m的取值范围。
解:法1)因为f(x)m2-2am+1对x∈[-1,1]和a∈[-1,1]恒成立。先看成关于x的函数,f(x)是在[-1,1]上的单调增函数,且f(1)=1,则f(x)max=f(1)=1,所以m2-2am+11在a∈[-1,1]恒成立,即m2-2am0在a∈[-1,1]恒成立。
再看成关于a的函数,化为一次函数得解,设g(a)=-2m·a+m2,则g(-1)0g(1)0→m-2或m=0或m2
法2)因为f(x)m2-2am+1对x∈[-1,1]和a∈[-1,1]恒成立,即2ma+[f(x)-m2-1]0对x∈[-1,1]和a∈[-1,1]恒成立,先看成关于a的函数,设g(a)=2m·a+[f(x)-m2-1]
①m=0,f(x)1成立;
②m≠0,g(a)为关于a的一次函数,则g(-1)0g(1)0→-2m+f(x)-m2-102m+f(x)-m2-10→f(x)m2+2m+1f(x)m2-2m+1
x∈[-1,1]时恒成立。
因为f(x)max=f(1)=1,所以1m2+2m+11m2-2m+1→m-2或m2
综上所述:m-2或m=0或m2
此题两种方法均可行,但是实践看来,第一种方法更利于学生接受。所以,含有多个变量的恒成立问题,适当选择函数,是问题能否得到顺利解决的关键。(周六继续刊登)