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(接10月30日)
可知,x=-6,x=-2,x=2,x=6为区间内的四条对称轴。由f(x)在[0,2]上是增函数,以及f(0)=0。如图所示,方程f(x)=m的根可以看作两个函数y=f(x)和y=m的交点的横坐标。可以发现,由于m>0,四个交点从左至右依次设为x1、x2、x3、x4,则x1、x2关于直线x=-6对称,x3、x4关于直线x=2对称,故x1+x2=-12,x3+x4=4,从而可知x1+x2+x3+x4=-8。
例6:设f(x)是连续的偶函数,且当x>0时,f(x)是单调函数,则满足f(x)=f(-)的所有x之和为( )
A、-3 B、3 C、-8 D、8
分析:此题仍然是函数性质和方程求根综合的问题。根据题目要求,首先要利用函数特点,把函数值相等的条件转化为关于x的方程,之后再利用函数方程的方法求出方程根的范围和特征,进而完成题目的要求。
解:由函数f(x)为偶函数,故f(x)=f(|x|),f(-)=f(|-|),故f(|x|)=f(|-|)。又当x>0时单调,从而可得|x|=|-|。问题转化为绝对值方程的根的问题。
两边平方化简,得x2(x+4)2-(x+3)2=0,分解因式,得(x2+3x-3)·(x2+5x+3)=0,即x2+3x-3=0或x2+5x+3=0。共有四个根,利用韦达定理,x1+x2=-3,x3+x4=-5,故四个根之和x1+x2+x3+x4=-8,故选C。(周六继续刊登)