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转化与化归思想是数学中最基本的思想方法之一,数学中的很多问题的解决都离不开转化与化归,在高考中占有很重要的地位,它渗透于数学的各部分知识。所谓转化与化归思想就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段,将问题通过变换使之转化化归为在已有知识范围内可以解决的一种方法、策略。通常是将复杂的问题转化为简单的问题,将较难的问题转化为容易求解的问题,将未解决的问题转化为已经解决的问题。转化与化归思想也是数学思想方法的核心。下面我们通过一些实例进行探讨:
[题型一]换元转化
例1:求函数y=-的值域。
分析:从sinx+cosx与sinxcosx间的换算关系(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx入手分析,寻找思路。对sinx+cosx采用整体换元,从而使函数解析式化繁为简。
解:设t=sinx+cosx=-sin(x+-)
显然,t≠-1。∴t∈[--,-1)∪(-1,-],而sinxcosx=-
∴y=-=-(t-1)
∵函数y=-(t-1)在t∈[--,-1)和t∈(-1,-]上单调递增。
∴当t=-时,ymax=-(--1)=-
当t=--时,ymin=-(---1)=--
由t≠-1,得y≠-1
∴函数y=-的值域为[--,-1)∪(-1,-]
总结:(sinx±cosx)2=1±2sinxcosx对sinx±cosx,sinxcosx的相互转化起到桥梁作用。其中常令sinx±cosx=t(整体换元),则sinxcosx=±-,实现两者之间的换元转化,特别要注意的是t的取值范围,它源于x的取值范围。
[题型二]特殊与一般的转化
例2:设f(x)=-,求f(-)+f(-)+…+f(-)的值。
分析:直接求解无从下手,需要我们发散思维,发现知识之间的联系。由结论的数量特征,观察发现-+-=1,-+-=1,…,-+-=1,启发我们将问题进行转化,探究函数f(x)=-的结构特点,探索自变量的和为1时,函数值的和是否为常数。
解:∵f(x)+f(1-x)=-+-=-+-=-+-=1
∴原式=[f(-)+f(-)]+[f(-)+f(-)]+…+[f(-)+f(-)]=1005
总结:本题采用倒序相加,由问题的特殊性入手,导出一般规律,抓住问题实质寻求解决方法。(周六继续刊登)