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(接5日)
小结:消元法适用于自变量的对称规律。互为倒数,如f(x)、f(-);互为相反数,如f(x)、f(-x),通过对称代换构造一个对称方程组,解方程组即得f(x)的解析式。
[题型五]赋值法
例5.设f(x)是R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意实数x、y有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x)的解析式。
分析:由于这里函数没有给出具体的解析式,而只给出函数所满足的一个恒等式,因此应从此恒等式入手。如何入手呢?不妨从特殊值入手解决。
解:方法一:由f(0)=1,f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)
令x=y,得f(0)=f(x)-x(2x-x+1)=f(x)-x(x+1)=1
∴f(x)=x2+x+1
方法二:令x=0
∴f(0-y)=f(0)-y(0-y+1)
∴f(-y)=1-y(1-y)=y2-y+1
再令x=-y ∴f(x)=x2+x+1
小结:①所给函数方程含有2个变量时,可对这2个变量交替用特殊值代入,或使这2个变量相等代入,再用已知条件,可求出未知的函数,至于取什么特殊值,根据题目特征而定。②通过取某些特殊值代入题设中等式,可使问题具体化、简单化,从而顺利地找出规律,求出函数的解析式。
[题型六]利用函数性质求解析式
例6.f(x)是R上的偶函数,其图象关于直线x=2对称,且当x∈(-2,2)时,f(x)=-x2+1,则当x∈(-6,-2)时,求f(x)的解析式。
分析:解此题的关键是根据条件,把要求区间上的自变量取值转化到已知区间上。
解:∵f(x)的图象关于直线x=2对称 ∴f(x)=f(4-x)
∵f(x)为偶函数
∴f(x)=f(-x)
∴f(4-x)=f(-x)
即f(4+x)=f(x)
∴f(x)的周期T=4
设x∈(-6,-2)
则x+4∈(-2,2)
∴f(x)=f(x+4)=-(x+4)2+1=-x2-8x-15
故当x∈(-6,-2)时,f(x)=-x2-8x-15
求函数解析式的常用方法有:配凑法、换元法、待定系数法、消元法等。如果已知函数解析式的类型,可用待定系数法;已知复合函数解析式时,可用换元法,这时要注意“元”的取值范围;当已知的表达式比较简单时,可用配凑法;若已知抽象的函数表达式,根据题目的条件特征,可用赋值法或解方程组消元的方法求解析式。(完)