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要点精讲
现在,高三已经进入了一轮复习,函数自然是开篇复习的重头戏,如何快速有效复习,把握复习节奏,重拾知识要点,对于高三的学子们至关重要。
函数部分知识点相对分散,考试题型多变,本身抽象性、题目综合性强,在多道题中都有所涉及,是我们所常说的学习和复习难点之一。针对函数部分的复习,我们应该强化高考题型,淡化复杂难解的纯函数题型,增加函数与导数、不等式等相关知识的综合性练习,才能做到有的放矢,也有利于养成解决函数问题的良好思路和习惯。
首先我们来研究分段函数。分段函数是我们在学习函数的第一节时就学习到的内容,它不是一个具体的函数,但却是一种重要的函数形式,是考查多个知识点的良好函数载体。所以在平时的学习中,熟悉分段函数的表示形式以及常见题型和解法,是十分必要的。下面我们不妨先来看下面几道例题:
例1:(2008年天津卷文8)已知函数f(x)=x+2,x0-x+2,x>0,则不等式f(x)x2的解集是( )
A、[-1,1] B、[-2,2]
C、[-2,1] D、[-1,2]
分析:此题考查的是分段函数求解不等式,需要注意对范围的分类讨论。
解:依题意得:x0x+2x2或x>0-x+2x2,解得-1x0或0<x1,从而-1x1。故选A。
例2:(2008年天津卷理8)已知函数f(x)=-x+1,x<0x-1,x0,则不等式x+(x+1)f(x+1)1的解集是( )
A、{x|-1x--1}
B、{x|x1}
C、{x|x--1}
D、{x|---1x--1}
分析:此题考查的同样是分段函数求解不等式,但其中除了针对范围的讨论外,还涉及对复合函数f(x+1)解析式以及定义域求解方面的考查,较之文科题目,难度明显加大。
解:依题意得:f(x+1)=-x,x<-1x,x-1,
将其代入不等式可得:x<-1x-x(x+1)1或x-1x+x(x+1)1,解得x<-1或-1x--1,从而x--1。故选C。
总结:这两道题都是2008年的高考题,从2008年开始,分段函数被放在选择题第8题的位置,成为近3年来高考函数部分的热门题型。其考核内容也从开始阶段单纯涉及不等式的求解,慢慢演变成为更复杂、更多元考查函数性质的综合题型。
例3:(2009年天津卷文8)设函数f(x)=x2-4x+6,x0x+6,x<0,则不等式f(x)>f(1)的解集是( )
A、(-3,1)∪(3,+∞)
B、(-3,1)∪(2,+∞)
C、(-1,1)∪(3,+∞)
D、(-∞,-3)∪(1,3)
分析:此题考查分段函数的函数值及不等式求解,同样需要针对不同范围进行讨论。
解:依题意得f(1)=3,则不等式化为:x0x2-4x+6>3或x<0x+6>3,解不等式可得:x>3或0x<1或-3<x<0,从而x>3或-3<x<1。故选A。
例4:(2009年天津卷理8)函数f(x)=x2+4x,x04x-x2,x<0,若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是( )
A、(-∞,-1)∪(2,+∞)
B、(-1,2)
C、(-2,1)
D、(-∞,-2)∪(1,+∞)
分析:此题主要考查的是分段函数单调性问题的运用,需要借助定义或者图象判断单调性,再利用单调性解决不等式问题。
解:由题目分析可知f(x)为奇函数,且在R上是增函数,从而由题目条件得2-a2>a,解得-2<a<1。从而选C。
总结:这两道题为2009年的高考题。文科题相比2008年,增加了对求解分段函数函数值的考查,总体难度变化不大。而理科题的考查直接涉及对函数性质的考查,而不再是单纯考查分段讨论求解不等式。应该说,题目中只考查了单调性的使用,尚未考查奇偶性,如果题目做简单变换,例如改不等式为f(2-a2)+f(a)>0,那么将会进一步提升考查的范围难度。
例5:(2010年天津卷文10)设函数g(x)=x2-2(x∈R),f(x)=g(x)+x+4,x<g(x)g(x)-x,xg(x),则f(x)的值域是( )
A、[--,0]∪(1,+∞)
B、[0,+∞)
C、[--,+∞)
D、[--,0]∪(2,+∞)
分析:此题考查的是分段函数中有关二次函数的值域问题。
解:将g(x)的解析式代入分段函数,可得f(x)=x2+x+4,x>2或x<-1x2-x-2,-1x2。从而f(x)两部分都为二次函数,分别求解值域:x2+x+4=(x+-)2+-x>2或x<-1,故值域为(2,+∞);x2-x-2=(x--)2--,故值域为[--,0]。
从而f(x)的值域为[--,0]∪(2,+∞)。故选D。
(周六继续刊登)