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耀华中学卢翔
上篇我们研究了最近3年的高考分段函数题,现在我们来分析分段函数的主要考查方式和考点,以及相应的解题技巧。
由分段函数的解析式特征,我们可以大致把分段函数的考点分为几个方面,下面我们通过例题逐一说明并分析解题方法。
首先,分段函数求值问题。题目给出分段函数的解析式,求在自变量取得某值时的函数值或者给出函数值,求解自变量。下面我们来看两个例题:
例1:函数f(x)=cos(n2),-1<x<0ex+1, x0,若f(a)=0,则a的所有可能值所组成的集合为_________。
分析:这是一个简单的求值问题,给出分段函数的函数值,求解自变量的值,只要代入反解即可,需要特别注意解出的自变量是否是在对应的区间内。
解:①cos(x2)=0→x2=k+-→x2=k+-
由于x∈(-1,0),故k=0,x=--;
②ex-1=0→ex=1→x=0,符合要求。故解集为{0,--}。
例2:定义在R上的函数f(x)满足f(x)=3x-1, x0f(x-1)-f(x-2),x>0,则f(2010)=______。
分析:这是一个求函数值的问题,分段函数给出的形式和一般函数有所区别,因为当x>0时,函数是以递推的方式给出的,所以为了求解f(2010)这样的函数值,我们需要了解这个函数的周期特点,通过化简递推式,就能发现其中规律。
解:x>0时,f(x)=f(x-1)-f(x-2),且代换可得f(x+1)=f(x)-f(x-1)。两式相加,可得f(x+1)=-f(x-2),同样代换可得f(x+4)=-f(x+1),将其代入,可得f(x+4)=f(x-2)。故函数f(x)在x>0时为周期函数,且T=6。故f(2010)=f(0)=-。
第二,分段函数求解不等式问题。这个是很常见的题型,既包含对分段函数定义域及解析式关系的考查,又同时考查求解常见不等式甚至是指对不等式。
例3:设f(x)=2ex-1, x<2log3(x2-1),x2,则不等式f(x)>2的解集为_______。
分析:这是一个解指对不等式的问题,对分段函数解不等式的问题,要注意代入解析式求解结束之后,和定义域取交集,当所有部分都求解完毕之后,再把所有解集取并集。解指对不等式还要注意化常数为指对式,利用指对函数的单调性求解。
解:①x<2时,2ex-1>2→ex-1>1=e0→x-1>0→x>1,故1<x<2;
②x2时,log3(x2-1)>2=log39→x2-1>9→x>-或x<--,故x>-。综上可知,不等式的解集为(1,2)∪(-,+∞)。
例4:函数f(x)=x2, x04sinx,0<x2,则集合{x|f(x)>2}=( )
A、(-∞,--)∪(-,-) B、(-∞,--)∪(-,)
C、(-∞,--)∪(-,+∞) D、(-∞,-2)∪(-,-)
分析:这是一个含有三角函数的求值问题,需要在求解时注意三角函数的定义域。
解:①x0时,x2>2→x>-或x<--,故x<--;
②0<x2时,4sinx>2→sinx>-→2k+-<x<2k+-,k∈Z,故-<x<-。故选A。(周六继续刊登)