2012招考金刊(六)

　　2009、2010年的天津中考题26题中都出现了三角形的面积，三角形的面积除了可以用基本面积公式来求，还有什么其他方法呢？好的方法能让我们把综合题化难为易，化繁为简，下面我们就来通过题目研究三角形面积的求法和转换。

　　引例

　　1.如图，二次函数y=x2-6x+5与x轴交于A、B两点(A点在B点的左侧)，与y轴交于C点，顶点为D点，求(1)S△ABC；(2)S△DBC 。

　　解：令y=0,x2-6x+5=0,∴x1=1,x2=5，由A点在B点的左侧,所以A(1，0)，B(5，0)。

　　令x=0，y=5，所以C(0，5)。

　　y=(x-3)2-4，所以顶点D(3，-4)

　　(1) S△ABC=-AB·CO=-×4×3=6

　　(2)设直线CD交x轴于点M，

　　直线CD解析式为y=-3x+5，与x轴交点M(-，0)，将△BCD分割为△BCM、△BDM，S△DBC＝-BM·|yC-yD|=-×-×9=15

　　图形面积常用求法：①直接利用公式； ②割补法。

　　(3)已知点P(2，-3)在该抛物线上，请问：在该抛物线上是否存在一点Q，使得S△ABQ=S△ABP，若存在，画图说明点的位置(注：仅画图说明即可，不需求出点坐标)；若不存在，请说明理由。

　　解：存在点P，点P到x轴的距离是3，作到x轴的距离等于3的两条平行线与抛物线交于点Q(除P外)。

　　图形面积也可以利用方法③：平行线间等距，等面积转换。

　　直击中考

　　(2009年天津)26.已知函数y1=x，y2=x2+bx+c，，为方程y1-y2=0的两个根，点M(t，T)在函数y2的图象上。(Ⅰ)若=-， =-，求函数y2的解析式；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若函数y1与y2的图象的两个交点为A，B，当△ABM的面积为-时，求t的值；

　　分析第(Ⅱ)问：

　　第(Ⅰ)问中可求出函数y2的解析式为y2=x2+-x+-，与y1=x联立，得A、B坐标，AB=-

　　方法一：直接利用三角形面积公式，设△ABM的高为h，

　　∴ S△ABM =-AB·h=-h=-，即-h=-。

　　根据题意，|t-T|=-h，由T=t2+-t+-，得|-t2+-t+-|=-。

　　当t2--t+-=--时，解得t1=t2=-；

　　当t2--t+-=-时，解得t3=-，t4=-。

　　∴t的值为- ，-，-。

　　方法二：割补法，三角形的面积=-水平宽×铅垂高。

　　过M作MN⊥x轴交直线AB于N，

　　S△ABM=-MN·|xA-xB|，同样可以求解。

　　相关练习：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线C1:y=x2，点A(2，4)。

　　(Ⅰ)求直线OA的解析式；

　　(Ⅱ)直线x=2与x轴相交于点B，将抛物线C1从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动，设抛物线顶点M的横坐标为m。

　　①当m为何值时，线段PB最短？

　　②当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

　　[答案]解：(Ⅰ)直线OA的解析式为y=2x。

　　(Ⅱ)①当m=1时，线段PB最短.

　　②抛物线上存在点Q1(2+-，5+2-)，Q2(2--，5-2-)，使△QMA与△PMA的面积相等。

　　公式整理王翠玮