|
||||
(接5月29日)
解:f(x)=---,其几何意义是抛物线y=x2上的动点M(x,x2)到点A(3,2)和到点B(0,1)距离之差,如右图所示:
由平面几何知识,|MA|-|MB|≤
|AB|,所以当M点位于直线AB与抛物线的交点P时,f(x)的最大值为|AB|=-。
总结:本题解法特点是分析式子的几何意义,用数形结合的思想方法,将代数问题转化为几何问题,利用几何的直观性寻求解决问题的途径。
[题型六]相等与不等的转化
例6:为使不等式x2+4xy+4y2+10x+ay+b>0对任意实数x、y恒成立,试求实数a、b应满足的条件。
分析:相等与不等之间的概念,在某种情况下它们可以相互转化,这种转化能使很多问题得到简化。
解:为使不等式恒成立,只需x2+4xy+4y2+10x+ay+b>0为一个实数式的完全平方加上一个增量t(t>0),令x2+4xy+4y2+10x+ay+b=(x+2y+m)2+t(t>0)=x2+4xy+4y2+2mx+4my+m2+t
比较系数,
得2m=104m=am2+t=b,解得m=5a=20b=25+t
∴当a=20、b>25时,不等式x2+4xy+4y2+10x+ay+b>0恒成立。
总结:本题关键引入增量“t”,使“不等问题”转化为“相等问题”来处理。
[题型七]不等式恒成立问题的转化
例7:设f(x)=lg-,其中a∈R,若当x∈(-∞,1]时,f(x)有意义,求a的取值范围。
方法一:(分离参数法)
原问题等价于->0在x∈(-∞,1]上恒成立
∴a·4x+2x+1>0,即a·4x>-2x-1
∵4x>0 ∴a>-(-)x-(-)x对x∈(-∞,1]恒成立
设g(x)=-[(-)x+(-)x],只需a>g(x)max
∵g(x)=-[(-)x+(-)x]在区间(-∞,1]上单调递增
∴g(x)max=g(1)=-(-+-)=--
∴a>--
方法二:(换元法)
令t=2x ∵x≤1 ∴t∈(0,2]
问题转化为a·t2+t+1>0对t∈(0,2]恒成立
设h(t)=at2+t+1,且h(0)=1
①当a>0时,h(t)的对称轴t=--<0,如图所示
∴满足h(t)>0在t∈(0,2]上恒成立
②当a=0时,h(t)=t+1,则h(t)∈(1,3]
∴满足h(t)>0在t∈(0,2]上恒成立
③当a<0时,h(t)的对称轴t=-->0,如图所示
只需h(2)>0
即4a+2+1>0
∴--<a<0
综合①②③,则a>--。
总结:本题需转化成不等式恒成立问题,通过换元或分离参数进而转化为闭区间上的二次函数的最值问题,求出函数的最值,即可得到a的取值范围,至于a的取值中能否包括函数的最值,只需代入验证即可。
[题型八]正与反的转化
例8:试求常数m的取值范围,使曲线y=x2的所有弦都不能被直线y=m(x-3)垂直平分。
分析:所谓“不能”与“能”是相对立的,被直线垂直平分的弦的两端点关于此直线对称问题转化为抛物线y=x2上存在两点关于直线y=m(x-3)对称,先求出m的取值范围,再求出m的取值集合的补集,即为原问题的解。
解:设y=--x+b与y=x2两交点为A(x1,y1)B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),则x0=-,y0=-
由y=--x+by=x2,得mx2+x-mb=0
∵△=1+4m2b>0
∴x0=-=--
y0=--(--)+b=-+b
∵M在y=m(x-3)上
∴-+b=m(---3)
∴b=---3m--
∵△=1+4m2b=1+4m2(---3m--)=-12m3-2m2-1>0
∴12m3+2m2+1<0,即(2m+1)(6m2-2m+1)<0
∵(6m2-2m+1)>0恒成立, ∴2m+1<0,即m<--,则当m≥--时,曲线y=x2的所有弦都不能被直线y=m(x-3)垂直平分。
总结:“正难则反”,集合的运算包括交集、并集和补集,利用补集的知识在解决很多问题时往往起到事半功倍的效果。
数学问题解答过程中普遍蕴涵着重要的思想方法,我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题、解决问题,形成能力,提高数学素质,而提高数学素质的核心就是对数学思想方法的认识和运用。(完)